三角函数的概念PPT 函数的概念ppt
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1、定义为:
设函数f(x)在区间I上有定义,若对I中的任意两点x₁和x₂,和任意λ∈(0,1),都有:
f(λx₁+(1-λ)x₂)>=λf(x₁)+(1-λ)f(x₂),
则称f为I上的凸函数,若不等号严格成立,即“>”号成立,则称f(x)在I上是严格凸函数。
同理,如果">=“换成“<=”就是凹函数。类似也有严格凹函数。
2、从几何上看就是:
在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是凹函数。同理可知,如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方,那么这个函数就是凸函数。
直观上看,凸函数就是图象向上突出来的。
如果函数f(x)在区间I上二阶可导,则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f'(x)<=0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f'(x)>=0。
扩展资料:
不同说法:
不过补充一下,中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸,是指曲线,而不是指函数,图像的凹凸与直观感受一致,却与函数的凹凸性相反。只要记住“函数的凹凸性与曲线的凹凸性相反”就不会把概念搞乱了。
另外,国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说,可按如下方法准确说明:
1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) , 即V型,为“凸向原点”,或“下凸”;
2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) , 即A型,为“凹向原点”,或“上凸”;
凸/凹向原点这种说法一目了然。上下凸的说法也没有歧义。
在二维环境下,就是通常所说的平面直角坐标系中,可以通过画图直观地看出一条二维曲线是凸还是凹,当然它也对应一个解析表示形式,就是那个不等式。
但是,在多维情况下,图形是画不出来的,这就没法从直观上理解“凹”和“凸“的含义了,只能通过表达式,当然n维的表达式比二维的肯定要复杂,但是,不管是从图形上直观理解还是从表达式上理解,都是描述的同一个客观事实。
而且,按照函数图形来定义的凹凸和按照函数来定义的凹凸正好相反。
参考资料来源:百度百科-函数的凹凸性
本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。