拿破仑定理证明(拿破仑定理)
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1、拿破仑·波拿巴 (Napoleon Bonaparte, 1769—1821) 对数学和数学家怀有特别的敬意, 并且欣赏他自己提出的问题.事实上, 以下定理即归属于他: ——以任意三角形的三条边为边, 向外构造三个等边三角形, 则这三个等边三角形的外接圆中心恰为另一个等边三角形的顶点.
2、 切蜛BC中,向三边分别向外侧作正三角形,然后把这三个正三角形的中心连结起来所构成的一定是正三角形. 这一定理可以等价描述为:若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形,则它们的顶点构成一个等边三角形.
3、 以△ABC的三边为底边各向形外作等腰三角形BCD,CAE和ABF,这三个等腰三角形的底角各为α,β和γ,且α+β+γ=90°,则 ∠FDE=90°-α,∠DEF=90°-β,∠EFD=90°-γ.
4、 为方便计,把△ABC的三内角简记为A、B、C.因DC=DB,则可将△DCE绕D点旋转∠BDC至△DBG位置,连FG. ∵∠FBG=360°-∠DBF-∠DBG =360°- (α+β+γ) - (α+C+β) =180°-B-C+180°-2(α+β+γ)+β+γ =A+β+γ=∠FAE. 又BG=CE=AE,FB=FA, ∴△FBG≌△FAE,FG=FE. 从而△DGF≌△DEF,∠FDG=∠FDE, 同理∠DEF=90°-β,∠EFD=90°-γ.
5、 在△ABC的外侧作三角形△BCP、△CAQ和△ABR,使∠PBC=∠QAC=α,∠PCB=∠QCA=β,∠RAB=∠RBA=γ,且α+β+γ=90°,则RQ=RP,且∠QRP=2α.
6、 RB绕R逆时针旋转2α至RG,连BG、AG、QG. ∵∠GBA=∠GBR-γ =90°-α-γ =β 又RA=RB=RG, 即R为△ABG的外心, ∴△ABG∽△ACQ∽△BCP, 又∠BAC=∠GAQ, 又∠RGQ=∠AGQ+∠AGR =∠ABC+α+γ=∠RBP, ∴∠RGQ≌△RBP. ∴RQ=RP. 又因∠GRQ=∠BRP, ∴∠QRP=∠GRB=2α. 以上摘自百读拿破仑吧. 下面介绍一个更好想的方法:
7、 设新三个三角形的中心分别是O1 O2 O3, 设出角度及边长,表达出∣O1O2∣及∣O1O3∣的长.经计算均等于(a2+b2+c2)/6]+(abc/2*√3*R) 其中分别为三边长,R为三角形ABC外接圆半径 有兴趣的朋友可以试试(尤其是高中朋友,可作为三角部分的练习题)
本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。