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椭圆中点弦的斜率公式及应用

山东高密市第三中学　任志勇　单秀丽

二次曲线的中点弦有许多有趣的性质，下面介绍椭圆中点弦的斜率公式，利用它可起到事半功倍的效果．

定理　设有二次曲线的方程为A、B两点在曲线上，M是弦AB的中点，O为坐标原点，则．

证明　设A、B两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2)，则点M的坐标为（）．

∵A、B两点在曲线上，

∴

两式相减得：整理得，

又，．证毕．

注　特别地，当＞0时，二次曲线为圆，显然OM⊥AB，有．

例1　过椭圆内一点D（1，0）引动弦AB，求弦AB的中点M的轨迹方程．

解　设动点M的坐标为（x,y），则

由定理得

整理得

这就是点M的轨迹方程．

例2　设椭圆与直线相交于A、B两点，且，又AB的中点M与原点O的连线的斜率为，求a、b的值．

解　由定理得（－1）·＝－　　　　（1）

将代入椭圆方程整理得：设A、B两点横坐标分别为x1、x2,则

∴，∴

即　　　　　　　　　（2）

由（1）、（2）解得

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。