大家好，我是小十，我来为大家解答以上问题。r语言求特征值和特征向量，求特征值和特征向量很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、

1、一、基本概念与结论

2、定义1　设是数域上的一个向量空间， 是 上的一个线性变换，，如果存在非零向量，使得，则称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量。

3、命题1　设是数域上的一个维向量空间，是的一个基，是上的一个线性变换，它在此基下的矩阵为。若是的属于特征值的一个特征向量，则是齐次线性方程组的一个非零解且有；反之，若且是齐次线性方程组的一个非零解，则是的属于特征值的一个特征向量。

4、定义2　设为数域上的阶矩阵，，如果存在非零向量，使得，就称是矩阵的特征值，是的属于特征值的特征向量。

5、定义3　设矩阵，则称为矩阵的特征多项式，称为的特征矩阵，称为的特征方程。阶矩阵的特征多项式是的次多项式。在复数域上的根称为特征根。

6、定理1　相似矩阵具有相同的特征多项式，从而特征值也相等。反之未必成立。如与有相同的特征值，但它们不相似。

7、定义4　设是数域上维向量空间上的一个线性变换，称关于的任一个基下的矩阵的特征多项式为线性变换的特征多项式。

8、定理2　设是数域上维向量空间上的一个线性变换，，则是的一个特征值的充要条件是：是的特征多项式的一个根。

9、定理3　设，则是的一个特征值的充要条件是：是的特征多项式的一个根。

10、定理4　若和都是的属于特征值的特征向量，则也是的属于特征值的特征向量（其中）。

11、定义5　设是矩阵的一个特征值，称齐次线性方程组的解空间为的关于特征值的特征子空间，记作。阶矩阵的特征子空间是维向量空间的子空间，它的维数为秩。

12、定理5　设的个特征根为的特征多项式为，则：

13、　　(1) ；

14、　　(2) ；

15、　　(3) 　　　　　 　　 　　其中　　表示由的第行与 　　第列的各交叉元素依次组成的行列式。

16、推论1　设是一个阶矩阵，则是一个可逆矩阵当且仅当的特征根都不为零。

17、性质1　若是矩阵的特征值，是的属于的特征向量，是一个多项式，则：

18、　　(1) 是的特征值，是的属于的特征向量，

19、　　(2) 是的特征值，是的属于的特征向量，是 　　　　任意正整数；

20、　　(3) 是的特征值，是的属于的特征向 　　　　量。

21、　　(4) 当可逆时，是的特征值，是的属于的特 　　　　征向量。

22、性质2　矩阵和的特征值相同。

23、二、例子

24、例1　对任一维非零向量，都有，从而是 　　 的特征值，是单位矩阵的属于特征值的特征向量。

25、例2　设是阶矩阵，是齐次线性方程组的非零解， 　　 则，从而是的特征值，非零解是的 　　 属于特征值的特征向量。

26、例3　设，则对于，有：

27、　　　， 　　 从而是的特征值，非零解是的属于特征值 　　 的特征向量。

28、例4　求矩阵的特征值和特征向量。

29、解：矩阵的特征方程为： ， 　　化简得， 　　从而的特征值为 (二重)。

30、　　（1）当时，由， 　　即得其基础解系为， 　　因此是的属于特征值的特征向量。

31、　　（2）当时，由， 　　即 　　得其基础解系为， 　　因此是的属于特征值的特征向量。

32、例5　设， 　　(1) 求的特征值和特征向量； 　　(2) 求可逆矩阵，使为对角阵。

33、解：(1) 由得的特征值为 　　　　（二重特征值）。

34、　　当时，由， 　　即得基础解系为， 　　从而的属于特征值的特征向量为。 　　当时，由， 　　即得基础解系为， 　　， 　　从而的属于特征值的特征向量为 　　（其中且不同时为零）。

35、　　(2)令，则， 　　从而是可逆矩阵；又 　　， 　　即：，从而。

36、例6　设上线性变换关于基下的矩阵是 　　　，求的特征值和相应的特征向量。

37、解：矩阵的特征方程为：

38、　　它只有一个实根。

39、　　由，即 　　得其基础解系为， 　　从而这个方程组的解为， 　　因此的属于特征值4的特征向量为： 　　

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