对数换底公式怎么推导出来的（对数换底公式的推导过程）

大家好，我是小科，我来为大家解答以上问题。对数换底公式怎么推导出来的，对数换底公式的推导过程很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1,要求证 logab= logc b/logc a , 不妨令a^x=b,c^y=b,c^z=a;

∵（c^z）^x=b,既得 c^(zx)=b, 也就是y=zx.

根据指数，对数定义，

换底公式就是 x=y/z, 已经证得。 2, 换底公式的形式： 　　换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。 　　log（a）（b）表示以a为底的b的对数。 　　所谓的换底公式就是 　　log（a）（b）=log(n)(b)/log(n)（a） 换底公式的推导过程： 　　若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1) 　　则 　　log（a）（b）=log（n^x）(n^y) 　　根据 对数的基本公式 　　log(a）(M^n)=nloga(M) 和 基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M 　　易得 　　log(n^x)(n^y)=y/x 　　由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b) 　　</B>则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a) 　　得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a) 　　例子：log(a)(c)^log(c)(a)=log(c)(a)/log(c)(c)^log(c)(a)=1 3,换底公式的应用： 　　1.通常在处理数学运算中，将一般底数转换为常用对数以e为底（即In）或者是以10为底（即lg）的对数，方便我们运算；有时也通过用换底公式来证明或求解相关问题； 　　2.在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式， 　　例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a为底b为真数的对数函数；只有以常用对数e或10为底的对数（即In、Ig）,此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数来表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而来处理某些实际问题。 4,所谓的换底公式就是log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).

换底公式的推导过程：

若有对数 log(a)(b) 设a=n^x,b=n^y

则 log(a)(b)=log(n^x)(n^y)

根据 对数的基本公式log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

和 基本公式log(a^n)(M)=1/n×log(a)(M)

易得 log(n^x)(n^y)=y/x

由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)

则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)

得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a). 5,设loga b=k

所以a^k=b

因为logc b=logc a^k=klogc a

所以(logc b)/(logc a)=k=loga b 6,设a=x的m方，b=x的n方，则log(a)b=log((x)的m方)(x的n方)=M/N)*log(a)b,

然后将m=log(x)a,n=log(x)b再带回m/n就行了。

因为a=x的m方，b=x的n方所以m=log(x)a,n=log(x)b

7, 换底公式

log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

推导如下

N = a^[log(a)(N)]

a = b^[log(b)(a)]

综合两式可得

N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

又因为N=b^[log(b)(N)]

所以

b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

所以

log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] 所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a) 8, N

设y＝loga

y

则a ＝N．

两边取以a为底的对数

a N

ylogm ＝logm

N

logm

y＝－－－－－

a

logm

N

N logm

即 loga ＝－－－－－－

a ．

logm

设a^b=N…………①

则b=logaN…………②

把②代入①即得对数恒等式：

a^(logaN)=N…………③

把③两边取以m为底的对数得

logaN·logma=logmN

所以

logaN=(logmN)/(logma) 9,由N=alogaN，两边取以 b为底的对数，得 logbN=logbalogaN． ∵logbalogaN=logaN??logba，

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。

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