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§21、积分上限函数及其导数微积分学基本定理定义1：设f(x)在[a,b]上可积，则对x[a,b]，f(x)在[a,x]上也可积，于是，(x)af(t)dt，x[a,b]定义了一个以积分上限x为自变量的函由数，称为变上限函数；(x)xf(t)dt，x[a,b]称为变下限的函数；(x)和(x)统称为变限函数。定理1若函数f(x)在[a,b]上可积，则变上限函数(x)af(t)dt在[a,b]上连续。定理2（原函数存在定理）：若函数f(x)在[a,b]上连续，则变上限函数(x)f(t)dt在[a,b]上可微，且(x)axxbxdxf(t)dtf(x)，x[a,b]dxa证：x[a,b]，任取x0，且xx[a,b]，则(xx)(x)xxaf(t)dtf(t)dtax由积分中值定理知，存在介于x与x+x之间，使得f()x，由于x0x，再由导数定义及f(x)的连续性知limlim(x)xxf()limf()f(x).x0x0推论：(x)(af(t)dt)f((x))(x)；((x)(x)f(t)dt)f((x))(x)f((x))(x)例1例2dt2设f(x)sinx1t2，求f()6ddtsintdt0x例3limx0sin0x2tx32、Newton—Leibniz公式定理3（Newton—Leibniz公式）：如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，则xbaf(x)d

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