直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半什么时候学的(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
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1、直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
2、设在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC的中线,求证:AD=1/2BC。
3、【证法1】
4、延长AD到E,使DE=AD,连接CE。
5、∵AD是斜边BC的中线,
6、∴BD=CD,
7、又∵∠ADB=∠EDC(对顶角相等),
8、 AD=DE,
9、∴△ADB≌△EDC(SAS),
10、∴AB=CE,∠B=∠DCE,
11、∴AB//CE(内错角相等,两直线平行)
12、∴∠BAC+∠ACE=180°(两直线平行,同旁内角互补)
13、∵∠BAC=90°,
14、∴∠ACE=90°,
15、∵AB=CE,∠BAC=ECA=90°,AC=CA,
16、∴△ABC≌△CEA(SAS)
17、∴BC=AE,
18、∵AD=DE=1/2AE,
19、∴AD=1/2BC。
20、【证法2】
21、取AC的中点E,连接DE。
22、∵AD是斜边BC的中线,
23、∴BD=CD=1/2BC,
24、∵E是AC的中点,
25、∴DE是△ABC的中位线,
26、∴DE//AB(三角形的中位线平行于底边)
27、∴∠DEC=∠BAC=90°(两直线平行,同位角相等)
28、∴DE垂直平分AC,
29、∴AD=CD=1/2BC(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)。
30、【证法3】
31、延长AD到E,使DE=AD,连接BE、CE。
32、∵AD是斜边BC的中线,
33、∴BD=CD,
34、又∵AD=DE,
35、∴四边形ABEC是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
36、∵∠BAC=90°,
37、∴四边形ABEC是矩形(有一个角是90°的平行四边形是矩形),
38、∴AE=BC(矩形对角线相等),
39、∵AD=DE=1/2AE,
40、∴AD=1/2BC。
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