勾股定理的应用思维导图(勾股定理的应用)
大家好,我是小十,我来为大家解答以上问题。勾股定理的应用思维导图,勾股定理的应用很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!
勾股定理可以解决直角三角形的许多问题,在现实生活和数学中有着广泛的应用.
(1)理解方向角等概念,根据题意画出图形,利用定理或逆定理解决航海中距离问题;
(2)判定实际问题中两线段是否垂直的问题。以已知线段为边构造三角形,根据三边的长度,利用勾股定理的逆定理解题;
(3)解决折叠问题。正确画出折叠前、后的图形,运用勾股定理及方程的思想,用代数方法解题;
(4)圆柱侧面上两点问题。转化为将侧面展开成平面长方形,构造直角三角形,利用勾股定理解决;
(5)其它涉及直角三角形的问题。
二、重、难点知识
应用勾股定理及其逆定理对具体问题具体分析,灵活运用定理是重点也是难点。
三、典型例题讲解
例1、如图所示,一旗杆在离地面5 m处断裂,旗杆顶部落在离底部12 m处,问旗杆折断前有多高?
分析:
旗杆垂直地面,所以△ABC是直角三角形,根据勾股定理,可得AC2+BC2=AB2.
解:
由题意可知∠C=90°,∴AC2+BC2=AB2.
又∵BC=5m,AC=12 m,
∴AB2=AC2+BC2=122+52=144+25=169,
∴AB=13(m).
∴旗杆折断前的高度为BC+AB=5+13=18(m).
例2、有一圆柱形油罐,底面周长是12米,高是5米,现从油罐底部A点环绕油罐建梯子,正好到A点的正上方B点,问梯子最短需多少米?
分析:
环绕油罐建梯子,想到将圆柱沿AB展开,得到一个长方形,由两点之间,线段最短,构造直角三角形,再利用勾股定理解题.
解:
如图所示,将圆柱的侧面沿AB展开,得到长方形AA′B′B,
则AB=A′B′=5米,
AA′=BB′=12米,∠A′=90°.
因此沿AB′建梯子,梯子最短.
在Rt△AA′B′中,
AB′2=A′A2+A′B′2=122+52=169.
∴AB′=13(米).
答:梯子最短需13米.
例3、在一棵树的10 m高处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20 m的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处,如果两只猴子所经过的路程相等,试问这棵树有多高?
分析:
如图所示,一只猴子经过的路径B→C→A,共走了10+20=30(m),另一只猴子经过的路径是B→D→A,也走了30 m,且树垂直于地面,于是此问题转化到直角三角形中,利用勾股定理解决.
解:如图所示,设BD=x,
则CD=BD+BC=x+10.
∴BC+CA=BD+DA=30,∴AD=30-BD=30-x.
在Rt△ADC中,AD2=CD2+AC2,
∴(30-x)2=(x+10)2+202,解得x=5.
∴CD=x+10=15(m).
答:这棵树高15 m.
小结:此题的关键是正确地画出图形,运用勾股定理及方程的思想解决问题.
例4、如图所示,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160米,假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶,周围100米以内会受到噪声的影响,那么学校是否会受到噪声的影响?说明理由,若受影响,已知拖拉机的速度为18千米/时,则学校受影响的时间有多长?
分析:
学校A到公路MN的距离AB=PA=80(米),因为80<100,所以学校会受到噪声的影响.要求受影响的时间,就需求出受影响时拖拉机行驶的路程,因此,在MN上找到两点C,D,使AC=AD=100米,那么CD间的距离就是受影响时拖拉机行驶的路程,由勾股定理及等腰三角形的性质,可求出C,D之间的距离.
解:
过A点作AB⊥MN,垂足为B,
∵∠QPN=30°,∴AB=AP=×160=80(米).
∵80<100,∴学校会受到噪声的影响.
在MN上找两点C,D,使AC=AD=100(米).
这说明拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到C处时,学校开始受到噪声的影响,当行驶到D处时,学校开始脱离噪声的影响.
由勾股定理,得BC2=AC2-AB2=1002-802=3600(米2),∴BC=60米.
∴CD=2BC=2×60=120米.
∴学校受到噪声影响的时间为120÷1000÷18=(时)=24(秒).
小结:
解几何类应用题的关键,是将实际问题转化为几何问题,利用数形结合的思想方法进行求解.
例5、由于过度采伐森林和破坏植被,我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭,近日,A市气象局测得沙尘暴中心在A市的正西方方向300km的B处,以km/h的速度向东偏南30°的BF方向移动,距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴严重影响的区域,问:A市是否受到这次沙尘暴的影响?若不受到,说明理由;若受到,求出A市受沙尘暴影响的时间.
分析:
画出图形,判断A市到直线BF的距离是否小于200km,如果小于200km小会受到沙尘暴严重影响.
解:
依题意画出图形(如图),则沙尘暴运动的路线是从B到C.作AD⊥BC于D.
在Rt△ABD中,∠B=30°,AB=300km,
则AD=AB=150km.
即沙尘暴在运动过程中到A点最近距离为150km,而150km<200km,故A市会受到沙尘暴的影响.
设沙尘暴距A点200km,刚好处在BC上E、F两点.
Rt△ADE中,AE=200km,AD=150km,
∴.
∴EF=2DE=km.
故A市受沙尘暴影响的时间为.
点评:
对于实际问题关键是根据题意,画出几何图形,建立几何模型.再构造直角三角形,运用勾股定理解决
本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。