大家好，我是小十，我来为大家解答以上问题。伴随矩阵的秩和特征值的关系，矩阵的秩和特征值的关系很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、为讨论方便，设A为m阶方阵 证明：设方阵A的秩为n 因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换，变成形如 1 0 … 0 … 0 0 1 … 0 … 0 ………………… 0 0 … 1 … 0 0 0 … 0 … 0 ………………… 0 0 … 0 … 0 的矩阵，称为矩阵的标准形（注：这不是二次型的对称矩阵提到的标准形） 本题讨论的是方阵，就是可以通过一系列初等行变换的标准形为 主对角线前若干个是1；其余的是若干个0 以及除对角线以外的元素都是0。

2、设A的标准形为B 因为“m×m阶矩阵构成的数域P上的线性空间”与 “该线性空间上的全体线性变换在数域P上的线性空间”同构。

3、 所以研究得到线性空间的性质可以照搬到线性变换空间上应用， 从同构的意义上说，他们是“无差别”的。

4、 （由于线性变换符号的字体不能单独以花体字体区别，所以 用形如“线性变换A”，表示线性变换 用形如“矩阵A”，表示线性变换的矩阵） 前面知识应该提到的内容： 一系列初等矩阵的乘积是非退化的，初等变换不改变矩阵的秩，初等变换是可逆的 所以矩阵B的秩（1的个数），就是矩阵A的秩，就是n 因为可逆且不改变秩，所以讨论矩阵B的情况，可以应用到矩阵A上。

5、 我们随即看到， 如果线性变换B（或者说矩阵B）的秩是n，则线性变换B就是 对线性空间的前n个基做恒等映射（因为基向量组没有秩序，我们取前n个不会有原则性的问题） 后m-n个基做零变换，所构成的线性变换，线性变换B的特征多项式是(λ-1)^n 就可以快速找到n个线性无关的特征向量，这些特征向量直接取线性空间的前n个基就可以了。

6、 我们得到的结论是，线性变换B秩是多少，就一定找到有多少个线性无关的特征向量。

7、 因为一个特征向量只能属于一个特征值， 所以有多少个线性无关的特征向量，就有多少个特征值（不管你的特征值是不是一样） 这里有n个1，都是一样的（从特征多项式也知道有n个重根） 因为非退化的线性替换不改变空间的维数，不改变矩阵的秩。

8、 下面我们解释重根为什么按重数计算，对矩阵B做初等行变换， 第i行乘以数域P上的数k≠1（当然，如果k=1纯属脱裤子放屁）， 我们的特征多项式变为(λ-1)^(n-1)*(λ-k)， 其它初等变换相应类推。

9、 借用学物理的思维，一个变换莫测的关系中，寻找守恒量是什么？这个是有意义的。

10、 而做这样的非退化的线性变换变换，虽然特征值会随之改变， 但是守恒量是一定能找到n个线性无关的特征向量，其个数就是矩阵B（线性变换B）的秩是不变的。

11、 这样我们就发现了守恒量，至于属于不同特征向量的特征值是否相等，纯属巧合，无意义。

12、 有多少个碰巧相等的都无所谓，有多少个相等（相当于特征多项式的几次方），就当然重复计算。

13、 最后来一个问题的封闭，题目说的是方阵A 这个简单，将矩阵B做一系列初等行变换，虽然特征多项式改变了，线性变换改变了， 特征多项式也变了，但是我们发现的守恒量n，是不变的。

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。